Seconda passata

Per capire come mai quattro bordi formati da lamine saponate si intersecano formando angoli di poco più di 109 gradi bisogna spostarsi nello spazio.

Nel piano avevamo tre forze identiche che tiravano in tre direzioni diverse, e avevamo l'equilibrio quando le tre forze erano disposte in modo da formare angoli di 120 gradi; ora prendiamo quattro forze identiche e le mettiamo nello spazio. Quando si ha l'equilibrio?

È come se le quattro palline rosse della seguente figura volessero tutte allontanarsi dal centro:

come devono disporsi?

Evidenti ragioni di simmetria porterebbero il Matematico Audace a dare subito la risposta, ma io ho preferito farmi tutti i calcoli (anche perché per fare la figura ho avuto bisogno di calcolare le coordinate dei centri delle quattro sfere).

Immaginiamo allora che uno dei quattro vettori punti in direzione (0,0,1). O, se vogliamo, immaginiamo che uno dei quattro vettori sia k. Ancora, potremmo dire che stiamo facendo dei calcoli con dei quaternioni.

Ora poniamo un secondo vettore sul piano xz: questo sarà del tipo ai-bk (componente positiva lungo l'asse delle x, e negativa lungo l'asse z). Gli altri due vettori saranno ci+dj-bk e ci-dj-bk.

Sommiamo tutto: il risultato deve essere 0, se vogliamo che tutto sia in equilibrio. Quindi otteniamo che

k + ai - bk + ci + dj - bk + ci - dj - bk = 0,

e cioè

(a + 2c)i + (1-3b)k = 0.

Ricaviamo quindi subito che b = 1/3 (ce lo aspettavamo, ci sono tre vettori che tirano verso il basso con forza b, e devono equilibrare quello che tira verso l'alto con forza 1) e che a = -2c. Inoltre sappiamo che tutti i vettori hanno lunghezza unitaria, quindi

a² + b² = 1,
c² + d² + b² = 1.

Dalla prima ricaviamo che a² = 1-b² = 8/9, e cioè a = 2√2/3, di conseguenza c = -√2/3. Dalla seconda abbiamo che:

d² = 1-c² - b² = 1 - 2/9 - 1/9 = 6/9, da cui d = √6/3.

Riassumendo, le coordinate dei quattro vertici sono:

(0,0,1),
(2√2/3,0,-1/3),
(-√2/3,√6/3,-1/3),
(-√2/3,-√6/3,-1/3).

Ecco fatto. Per rispondere alla domanda iniziale, e cioè calcolare quel famoso valore di 109 gradi e rotti, rappresentiamo due di quei vettori, per esempio quelli che stanno sul piano xz. Sistemiamoli un po', in modo che uno dei due si trovi nella direzione positiva dell'asse orizzontale (in altre parole: mettiamo l'asse z in orizzontale):

Bene, l'angolo che stiamo cercando è quello tale per cui, se lo mettiamo sulla circonferenza di raggio 1 con un lato nella direzione dell'asse x, l'altro lato viene proiettato sull'asse x in modo da formare un segmento di lunghezza pari a 1/3 nella direzione negativa. In breve:

α = arccos(-1/3) = 109.47°.

La dimostrazione di questo teorema (le cui tesi sono note con il nome di leggi di Plateau) è molto recente. La matematica americana Jean Taylor la pubblicò sugli Annals of Mathematics nel 1976, dimostrando così che la formazione della schiuma è governata da due semplici costanti: arccos(-1/2), cioè 120 gradi, e arccos(-1/3), cioè 109.47 gradi circa. Plateau l'aveva capito nel 1873, più di cento anni prima, ma non era riuscito a dimostrarlo.

Era un grande osservatore, e uno studioso appassionato. Nella sua tesi di dottorato del 1829 trattò, in sole 27 pagine, della persistenza dei colori sulla retina, delle intersezioni di alcuni particolari luoghi geometrici, della distorsione delle immagini in movimento, della ricostruzione di immagini distorte. Inventò il fenachistoscopio, un oggetto che permetteva di vedere immagini in movimento (quando ancora il cinema non esisteva).

Volendo studiare la persistenza della visione, ideò un esperimento in cui fissò il suo sguardo direttamente sul sole per 25 secondi. Esperimento che, purtroppo, lo portò a perdere la vista qualche anno dopo, nel 1843.

Sì, le leggi che portano il suo nome Plateau le ha elaborate e sperimentate solo con gli occhi della mente.

Soffice, morbida, bianca, lieve lieve

Colonna sonora per la lettura di questo post:

Esiste un teorema sulla schiuma, semplice da enunciare ma complicato da dimostrare (succede più spesso di quanto si immagini: enunciati quasi ovvi sono rognosi da dimostrare per bene). In effetti, la schiuma è una cosa complicata, e possiamo rendercene conto in questo modo: se vogliamo disegnare una bolla di sapone, non abbiamo difficoltà. Se stiamo attenti, possiamo anche disegnarne due appiccicate senza sbagliarci troppo.

Provate a disegnarne tre, adesso, ognuna attaccata alle altre due. La schiuma è decisamente complicata.

È sorprendente il fatto che l'enunciato del teorema riguardante la schiuma sia semplice e, soprattutto, comprensibile.

Il teorema afferma che le pellicole saponate sono superfici lisce (per i matematici questa parola ha un significato preciso, che potremmo tradurre con senza spigoli, lisce, appunto (lo so che sembra un commento del grande capo Estiqaatsi, portate pazienza)). Che ogni porzione di pellicola (ogni pezzetto limitato da bordi, insomma) mantiene sempre curvatura media costante — tradotto, significa che se la pellicola saponata non ha bordi, è una bolla, altrimenti potrebbe essere un piano, oppure una catenoide, un'elicoide, una sella in una delle sue varianti, come per esempio la notevole sella della scimmia, ehm (direi di non aver dimenticato nulla, comunque l'idea è che non ci sono bitorzoli).

E ora arriviamo alla parte interessante: il teorema dice che la schiuma può essere complicata finché vogliamo, ma comunque le pellicole di sapone si incontrano sempre a tre a tre, formando un angolo di 120 gradi.

Così:

Si riesce a capire il motivo se si pensa al fatto che le superfici saponate tendono, grazie alla tensione superficiale, ad assumere una configurazione di minima estensione. È come se, in corrispondenza del punto di incontro delle tre lamine, ci fossero tre forze identiche che tendono a tirare verso tre direzioni diverse. Il sistema si mette in equilibrio quando le tre forze agiscono in questo modo:

Attenzione, funziona sempre, non solo quando le tre lamine hanno la stessa lunghezza:

Funziona anche quando le lamine sono più di tre.

Bene, il teorema dice un'ultima cosa: quando tre lamine si incontrano (a 120 gradi, naturalmente) formano un bordo. Ecco, questi bordi si intersecano sempre quattro a quattro formando un angolo che è poco più di 109 gradi.

Il motivo (e il valore esatto dell'angolo) lo vediamo la prossima volta.

[L'immagine della schiuma è presa da wikipedia]

REAMDE

Neal Stephenson ha scritto un altro libro, che in Italia sono diventati due:



Gioco Mortale, Fanucci editore, 14.88 €, 744 pagine.



Guerra Assoluta, Fanucci editore, 14.88 €, 685 pagine.

C'è anche in edizione per Kindle (e credo sia un unico volume), a 11.90 €.

Si tratta di un thriller ambientato ai giorni nostri, realistico (c'è solo una invenzione che, attualmente, non esiste, ma ne esistono molte imitazioni), non impegnativo come altri romanzi dell'autore, che corre via liscio e si lascia leggere in fretta. La sensazione che si ha nel leggerlo è proprio questa: voglio andare avanti per vedere quello che succede.

Ci sono molti personaggi ben delineati, ai quali ci si affeziona, e c'è una bella storia che si sviluppa in vari intrecci.

La traduzione, purtroppo, non è un gran che: sono presenti molti errori, a volte manca una parola, forse dopo le prime correzioni non hanno fatto una rilettura attenta, chissà. Leggo poi in giro commenti di lettori arrabbiati che non sapevano che il libro (che in originale si intitola REAMDE) fosse stato diviso in due parti; io lo sapevo, ma perché mi ero informato leggendo qua e là su internet: effettivamente sul primo volume non c'è scritto nulla che faccia capire che occorre acquistarne anche un secondo.

In ogni caso, un grazie a Fanucci per aver tradotto questo libro, e una richiesta: traducete anche il terzo volume del Ciclo Barocco, per favore? Rizzoli ha fatto solo i primi due, e poi ha lasciato perdere. Non è una bella cosa.

[Dimenticavo: lettore che vuoi informarti sui libri, non leggere la seconda di copertina di Guerra Assoluta, se non vuoi che ti spoileri tutto il primo libro]

I 22 passi

Bramo Logicar mi risponde con un programma: ha dimostrato che 22 è davvero il numero minimo di mosse facendosi aiutare dal computer. Ora qualche purista potrebbe brontolare, siamo sicuri che una dimostrazione fatta dal computer sia una vera dimostrazione? E poi, è una bella dimostrazione?

Bé, quando non esiste altra strada, non conta molto il giudizio estetico. Ma se il programma è un bel programma, tanto meglio. E, in ogni caso, il programma è stato scritto da un umano, basta leggerlo e controllare che funzioni bene. Per dire: come faccio a fidarmi del fatto che l'ultimo teorema di Fermat è stato dimostrato? Quante persone al mondo sono in grado di leggere la dimostrazione e giudicarla? Perché non devo avere problemi su quella dimostrazione e devo farmene invece su un programma che potrei leggere, o scrivere, io stesso?

Il programma di BL è bellissimo, ma è scritto in perl, linguaggio che io non conosco. E allora come faccio a dire che è bellissimo?

Bé, si vede. Anche se non conosco i dettagli del linguaggio, comunque capisco il senso del programma. E vedo anche l'eleganza con cui è scritto. Lo lancio, e mi mostra la sequenza di 22 mosse (una sequenza di 22 mosse) che risolve il problema. E, per come mi è stato descritto il funzionamento, capisco anche che quello è il minimo. Ma voglio andare più a fondo, e decido di riscrivere il programma utilizzando un linguaggio che conosco un po' e che mi piace molto: python.

(Disclaimer: programmatori seri che state per leggere il seguito, abbiate pietà. Sono un autodidatta di questo linguaggio, non conosco tutte le sue potenzialità, sto sperimentando. Se avete suggerimenti per migliorarlo, e migliorare la mia comprensione, fateli pure)

Il programma ha una filosofia molto semplice: analizza l'albero di tutte le mosse fino a che non arriva alla soluzione. Quindi non ci si può sbagliare: la prima soluzione che salta fuori è quella che si ottiene con il numero minimo di mosse.

Entrando più nel dettaglio, il programma parte dalla posizione iniziale e genera tutte le possibili mosse ottenibili facendo un movimento. Queste vengono memorizzate assieme al numero di mosse necessarie per arrivare in quella posizione, e (qui sta il bello) assieme anche alla posizione da cui provengono, per poi recuperare il percorso una volta giunti alla fine. Poi ricomincia, partendo dalle nuove posizioni ottenute e generando tutte le nuove possibili mosse, e così via.

Arrivati alla soluzione, basta percorrere il cammino all'indietro per ottenere l'elenco di tutti i passaggi.

La griglia delle varie posizioni viene numerata in questo modo

         ___     ___
        |   |   |   |
        | 2 |   | 6 | 
 ___ ___|___|___|___|___
|   |   |   |   |   |   |
| 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
|___|_ _|___|___|___|___|
        |   |   |   |
        | 4 |   | 8 | 
        |___|   |___|

e memorizzata in una lista (all'inizio una stringa, in realtà, poi trasformata in una lista per lavorarci sopra). Dunque la posizione iniziale sarà memorizzata così: "AI.L.A.T.I". In realtà nel programma al posto dei puntini ci metto degli zeri, per poter fare dei controlli più comodamente, ma non ha importanza.

Ecco la parte di programma che si occupa di definire la griglia: nella lista c è contenuto, per ogni casella, l'elenco delle caselle confinanti.



La variabile w contiene la posizione iniziale, finale naturalmente contiene quella finale, Nmax contiene il livello massimo al quale il programma arriverà: se non è stata trovata una soluzione fino a quel momento, si ferma.

mosse è un dizionario: è la struttura che associa, ad ogni posizione, il livello al quale la posizione è stata incontrata la prima volta, assieme alla posizione precedente, dalla quale questa proviene. All'inizio contiene solo la posizione di partenza w, che si trova a livello 0 e non proviene da nessun'altra posizione (in realtà qui la definiamo come proveniente da sé stessa).

Proseguiamo. Questa è la funzione che si occupa di calcolare la lista di tutte le possibili posizioni ottenibili con una mossa, a partire da una posizione m data.



Contiene un ciclo che esplora ogni casella, e se ne trova una vuota (cioè contenente 0) per ogni casella confinante fa uno scambio: la lettera che si trova nella casella confinante va in quella vuota. Tutte le nuove posizioni vengono inserite nella lista ris, inizialmente vuota, che alla fine viene restituita al programma chiamante.

Ora il programma principale:



È un ciclo che ripete sempre la stessa procedura, fino a che non arriva a trovare una soluzione (o non arriviamo al livello Nmax). Dal dizionario di tutte le mosse estrae quelle del livello precedente; per ogni mossa crea la lista delle mosse successive; se queste sono nuove (cioè non stanno già nel dizionario), allora vengono inserite, assieme al loro livello e alla mossa precedente. Se trova la posizione finale, ferma tutta la baracca.

Ora si tratta di stampare per bene il risultato. La funzione bellastampa()



stampa in maniera comprensibile le varie posizioni. Non c'è molto da dire, se non che ho provato a utilizzare un sistema per contare il numero di mosse utilizzando una variabile statica locale (invece di una variabile globale). Probabilmente non è il modo migliore, ma tant'è.

E ora la parte finale:



la funzione scrivisoluzione() è ricorsiva, e permette di scrivere l'elenco delle mosse dalla prima all'ultima (e non dall'ultima alla prima). Noi la chiamiamo passandole, come parametro, l'ultima posizione trovata (quella finale, insomma), e lei ripercorre l'albero delle mosse all'indietro, fino a tornare al livello zero. Da lì comincia a stampare, in discesa, tutte le mosse.

Ed ecco il risultato:

. .
 0: AILATI
      . .

      . T
 1: AILA.I
      . .

      . T
 2: AILAI.
      . .

      L T
 3: AI.AI.
      . .

      L T
 4: AI.A..
      . I

      L T
 5: AI..A.
      . I

      L T
 6: A.I.A.
      . I

      L T
 7: A..IA.
      . I

      L T
 8: A..I.A
      . I

      L T
 9: .A.I.A
      . I

      L .
10: .A.ITA
      . I

      L .
11: ..AITA
      . I

      L .
12: ...ITA
      A I

      L .
13: ..I.TA
      A I

      L .
14: ..IT.A
      A I

      L .
15: .I.T.A
      A I

      L .
16: .IT..A
      A I

      L .
17: I.T..A
      A I

      L .
18: IT...A
      A I

      . .
19: ITL..A
      A I

      . .
20: IT.L.A
      A I

      . .
21: ITAL.A
      . I

      . .
22: ITALIA
      . .

Appendice: ho scritto questo post prima di pubblicare il precedente, nei cui commenti si discute sulla validità di una dimostrazione fatta col computer. In questo caso credo che sia abbastanza semplice da poter essere considerata valida anche dai puristi. Comunque sia, il programma, prima di terminare, ha analizzato e memorizzato 24824 posizioni diverse. Per la precisione:

Posizioni di livello  0 =    1
Posizioni di livello  1 =    4
Posizioni di livello  2 =   12
Posizioni di livello  3 =   30
Posizioni di livello  4 =   58
Posizioni di livello  5 =  130
Posizioni di livello  6 =  200
Posizioni di livello  7 =  358
Posizioni di livello  8 =  442
Posizioni di livello  9 =  660
Posizioni di livello 10 =  766
Posizioni di livello 11 = 1106
Posizioni di livello 12 = 1243
Posizioni di livello 13 = 1642
Posizioni di livello 14 = 1692
Posizioni di livello 15 = 2188
Posizioni di livello 16 = 2119
Posizioni di livello 17 = 2427
Posizioni di livello 18 = 2029
Posizioni di livello 19 = 2289
Posizioni di livello 20 = 2046
Posizioni di livello 21 = 2461
Posizioni di livello 22 =  921

Una pecora, in un campo, con un lato nero

Cosa dire del quesito che ho postato sabato, quello sulla trasformazione della parola "AILATI" in "ITALIA", seguendo certe regole? Per quanto mi riguarda, mi piace poco, perché non si può risolvere se non andando a tentativi.

Siamo sicuri? Non si può, o io non ci sono riuscito?

Ma vediamo cosa è successo in realtà.

La mia scuola era una sede per i giochi matematici della Bocconi. Tempo prima dello svolgimento delle gare arriva a scuola un bel pacco sigillato contenente i testi e le soluzioni, che l'insegnante responsabile per la scuola mette in cassaforte, al riparo da sguardi indiscreti. Sul foglio risposte era riportato questo risultato, per il suddetto quesito: 26.

Qualche giorno prima della data delle gare arriva un'email urgente che dice che c'è un errore nella risposta, quella corretta è 24. Bene, prendiamo nota.

Finalmente arriva il giorno delle gare, tutti i partecipanti sono nelle aule, la banda di impallinati di giochi matematici della quale faccio parte è chiusa in un laboratorio della scuola, pronta per correggere. Cominciano ad arrivare i primi fogli con le risposte: correggiamo, facciamo un doppio controllo, introduciamo i dati nel computer.

Tra gli impallinati di giochi ci sono anche dei giocatori (figli, studenti, amici). Questi strani personaggi prima partecipano alla gara, poi vengono a fare un salto dove siamo noi correttori e danno una mano anche loro (a volte vengono solo a mangiare, perché è chiaro che tutto ciò che sto raccontando è fatto allo scopo di fare bisboccia, ehm). La prima cosa che fanno, però, prima ancora di mangiare qualche fetta di torta, è controllare le risposte. Arrivato al famoso quesito, uno di loro dice: «ma no, 24? È sbagliato! Io ho dimostrato che con 22 passi ci si riesce».

Fermi tutti, ma come? Ricontrolliamo, dai. Il gruppetto di giocatori/correttori si mette davanti a un foglio e, con una fetta di torta in una mano e una matita nell'altra, tutti cominciano a ricostruire la sequenza di mosse.

E noi che facciamo? C'è gente che ha risposto 24, e a cui abbiamo dato buona la risposta. C'è altra gente a cui invece abbiamo dato sbagliata la risposta 22, che facciamo se è giusta? Chiamiamo i colleghi di Carpi, anche loro sede dei giochi, ma sono un po' indietro con la correzione e non si sono ancora posti il problema. Chiamiamo Milano direttamente, ci dicono che controlleranno, ma capiamo che sono un po' nel caos (comprensibilmente: sono la sede centrale, avranno ricevuto un sacco di telefonate). Per un momento arriva l'indicazione di dare buone entrambe le risposte, ma nel nostro laboratorio c'è la ribellione: o è giusta una, o è giusta l'altra. Poi anche i milanesi riescono a trovare un momento per ricontrollare tutto, e finalmente si decide che 22 è la risposta giusta.

Proseguiamo la correzione, facciamo le premiazioni, arrivederci a tutti.

Però, c'è un però. Lo spirito del matematico che vede mezza pecora nera in un campo aleggia su di noi: il quesito chiede chiaramente quale sia il numero minimo di passi. Come facciamo a essere sicuri che sia il minimo? Chi ha scritto il quesito lo sa? Perché un conto è trovare una soluzione in 22 passi, un altro è invece dimostrare che con meno passi non ci si riesce.

Quando arrivo a casa, chiedo a .mau. (che, pur essendo anziano pure lui, si diletta ancora a fare giochi matematici) se dalle sue parti hanno riscontrato gli stessi problemi. Lui personalmente no (il quesito era considerato troppo facile per la categoria Grande Pubblico, quella a cui lui appartiene), però mi racconta che  anche a lui hanno chiesto di controllare se effettivamente esistesse una soluzione in 22 mosse. La richiesta proveniva da un altro amichetto, giocatore pure lui, e pure lui aiutante nelle correzioni. Amichetto che io conosco solo attraverso internet, l'ho incontrato per la prima volta sulle pagine di Rudi Mathematici, con lo pseudonimo di Bramo Logicar. Mi dice .mau. che lui ha la soluzione definitiva del problema, e quindi gli scrivo per conoscerla. Come dicevo, mi piacciono le soluzioni. Vorrei sapere se dall'altra parte la pecora è nera.

Affermazioni pericolose

Un ingegnere, un fisico e un matematico sono in vacanza in Scozia, quando da un finestrino del treno su cui stanno viaggiando scorgono una pecora nera nel mezzo di un campo.

«Ma guarda», osserva l'ingegnere, «tutte le pecore scozzesi sono nere!»

Il fisico interviene: «No, no! Alcune pecore scozzesi sono nere!»

Il matematico guarda i due con commiserazione e poi dichiara: «In Scozia esiste almeno un campo contenente almeno una pecora che ha almeno un lato nero».

A me piacciono i giochi matematici. Mi piace proprio l'idea, il concetto in sé: sono anziano e non sono tanto veloce nella loro risoluzione, per partecipare a una gara senza sfigurare troppo di fronte ai miei studenti dovrei allenarmi molto, e poi ho questa difficoltà irrisolta nei confronti delle operazioni con i numeri per cui spesso devo rifare i calcoli un sacco di volte. Le somme e le sottrazioni sono quelle che mi danno più da fare…

Se ho fra le mani un libro di giochi matematici non mi metto quasi mai a leggerli uno per uno per tentare di risolverli: a me piacciono proprio le soluzioni. Ho una particolare attenzione nei confronti delle soluzioni belle (secondo il mio particolare e soggettivissimo senso estetico per questo argomento), me le leggo e me le gusto. Mi piace vedere come il testo del problema viene matematizzato, perché di solito un problema viene presentato in forma dematematizzata, come direbbero i Rudi Mathematici, con una ambientazione, una storia, con qualche dato nascosto magari. Mi piace quando viene presentata una strada semplice che con pochi calcoli porta al risultato, strada che però è quasi invisibile, e che va cercata con molta attenzione. Come in una caccia al tesoro.

Bene, fine della premessa, ora arrivo al punto.

Qualche giorno fa si sono svolte le gare provinciali dei giochi matematici organizzati dalla Bocconi (le uniche gare alle quali possono partecipare tutti, non soltanto gli studenti, ma questa è un'altra storia). C'era un quesito che diceva più o meno così: data la seguente tabella:

         ___     ___
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
 ___ ___|___|___|___|___
|   |   |   |   |   |   |
| A | I | L | A | T | I |
|___|_ _|___|___|___|___|
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
        |___|   |___|

potendo spostare ogni lettera in una casella adiacente vuota, qual è il numero minimo di mosse per arrivare alla seguente configurazione?

         ___     ___
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
 ___ ___|___|___|___|___
|   |   |   |   |   |   |
| I | T | A | L | I | A |
|___|_ _|___|___|___|___|
        |   |   |   |
        |   |   |   | 
        |___|   |___|

Per ora non scrivo la soluzione, vi lascio giocare un po'. Mentre fate le vostre prove, ripensate alla storiella che fa ridere solo i matematici che ho riportato all'inizio di questo post (non devo sottolineare il fatto che il matematico ha ragione, vero?).

[La tabella in ascii art fa schifo, ma non ho capito come fare per costruire una tabella in html, digeribile da blogger, con le dimensioni fisse]

Il gatto di Arnold

Il sistema dinamico costruito da Arnold per mostrare la proprietà di mixing fa uso di un gatto. Non che sia importante la presenza del gatto, eh, ma Arnold utilizzava sempre dei disegnini nei suoi libri per fare capire le cose, sana e ottima pratica spesso dimenticata da molti docenti universitari (per dire, ho già parlato del mio libro di geometria senza figure, tempo fa).

Prendiamo un toro.

In matematica e in storia dell'arte per toro si intende una ciambella, non l'animale (interessante l'etimologia). Una cosa così, insomma (grazie a wikipedia):

Siccome è scomodo da disegnare, trasformiamolo un po': se lo tagliamo in modo da aprirlo, come se aprissimo l'anello di una catena, e poi lo stendiamo, otteniamo un cilindro. Se poi tagliamo il cilindro in modo da aprire anche quello, otteniamo un rettangolo. Ecco, ho trovato un video che spiega la costruzione del toro a partire da un rettangolo in modo molto chiaro:

Bene, siccome non ci interessa il fatto che il toro sia immerso nello spazio tridimensionale, per semplicità possiamo sempre fare riferimento al rettangolo che lo genera. In pratica è come se avessimo una carta geografica in cui se usciamo da destra rientriamo a sinistra, e viceversa. E se usciamo dall'alto, rientriamo dal basso, e viceversa. Mi accorgo di aver già parlato una volta della costruzione del toro, qui. In quel caso avevo fatto dei disegnini a mano…

Andiamo avanti: per comodità prendiamo un quadrato, invece di un rettangolo. Il sistema dinamico del gatto di Arnold prende il quadrato, lo deforma in un certo modo, e poi rimappa sul quadrato iniziale il risultato ottenuto. La deformazione è fatta così: dato un quadrato (immaginando che sia un toro)

lo deformiamo in questo modo

[per chi è interessato, l'equazione della trasformazione è questa: (x,y) → (2x+y,x+y)].

Ora ricordiamoci che siamo su un toro, e quindi ciò che esce da destra rientra da sinistra, e ciò che esce dell'alto rientra dal basso. Se coloriamo i vari pezzi che escono dal quadrato iniziale, così

possiamo renderci conto di dove essi vadano a finire quando li rimettiamo all'interno del quadrato di partenza:

Come si vede, il quadrato iniziale è stato mischiato un po'. Bene, si può dimostrare che questo sistema è mescolante. Arnold l'ha spiegata così: se disegniamo un gattino sul quadrato, dopo infinite iterazioni ogni parte del quadrato contiene la stessa percentuale di gattino. Ecco:

Volendo, si potrebbe anche parlare di fornai e di ferri di cavallo.