martedì 9 gennaio 2018

Il numero di Liouville

“Insomma, come si fa a riconoscere se un numero è algebrico o trascendente?”.

“Prima di provare a rispondere, ecco un riassunto di quanto abbiamo detto finora:”.

Se x è un numero irrazionale, esistono infinite frazioni del tipo m/n, ridotte ai minimi termini, che approssimano x con un errore minore di 1/(√(5)×n2), e la radice di 5 è la più grande costante utilizzabile in questo denominatore.

“Ok, mi ricordo, e ricordo anche che se si prova a aumentare la costante √(5) non è più vero che esistono infinite frazioni con quella proprietà”.

“Bene. Se proviamo ad aumentare ulteriormente l'esponente al denominatore, succede che il teorema non è più vero in generale. Cioè: non è vero che per qualsiasi numero algebrico esistono infinite frazioni del tipo m/n che approssimano quel numero con un errore minore di 1/n3. Questa è una proprietà dei numeri algebrici: se consideriamo i numeri trascendenti, non possiamo più affermarla. Esistono numeri trascendenti che la rispettano, e invece altri numeri trascendenti che possono essere approssimati con infinite frazioni con un errore minore di 1/n3, o anche 1/n4, 1/n1000, eccetera”.

“Addirittura”.

“Sì, esiste una categoria di numeri che possono essere approssimati con un errore minore di 1/nk, per qualunque k ti possa venire in mente”.

“Ah”.

“Ti faccio un esempio, ma prima dobbiamo ricordarci cosa sia il fattoriale”.

“Me lo ricordo, il fattoriale di un numero n è il prodotto di tutti i numeri da 1 fino a n”.

“Sì. Puoi scrivere i fattoriali dei primi numeri?”.

“Ah, certo, eccoli: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, …”.

“Ok, fermati pure. Allora, costruiamo un numero decimale in cui le cifre siano 0 oppure 1”.

“Bene, come decidiamo quando mettere 0 e quando mettere 1?”.

“Mettiamo quasi sempre 0, mettiamo 1 solo nelle posizioni 1, 2, 6, 24, eccetera”.

“Nelle posizioni identificate dai fattoriali?”.

“Esattamente. Le prime cifre del numero sono queste:”.

0.1100010000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010…

“Capito. Cos'ha di speciale questo numero?”.

“Questo può essere approssimato bene quanto vuoi con frazioni del tipo m/n in cui l'errore è minore di 1/n elevato a qualunque esponente ti possa venire in mente”.

“Oh, quindi è impossibile che sia algebrico, no?”.

“Proprio così, nessun numero algebrico gode di quella proprietà”.

“E come faccio a approssimarlo così bene?”.

“Te lo spiego con un esempio. Scegli un esponente a cui elevare 1/n, non troppo grande altrimenti dobbiamo scrivere un'infinità di zeri”.

“Facciamo 4, allora. Tanto il teorema che mi hai raccontato dice che non posso superare 2, no?”.

“Esatto. Ok, prendiamo 4 allora. Consideriamo quindi le cifre dopo la virgola del nostro numero fino alla quarta cifra 1. Insomma, prendiamo questo numero razionale:”.

0.110001000000000000000001

“Bene”.

“A che frazione è uguale?”.

“Allora, il quarto 1 si trova in posizione 4!, cioè 24, quindi dovrebbe essere questa frazione: 110001000000000000000001/104!”.

“Giusto. Facciamo così: indichiamo con L l'intero numero, e con A questa approssimazione”.

“Va bene”.

“Calcoliamo quindi LA”.

“Ci sono un sacco di zeri, uhm. Abbiamo in pratica cancellato i primi quattro 1, tutto il resto è rimasto uguale”.

“Giusto. Ora ti scrivo una serie di stime per cercare di capire come sia fatto questa differenza LA, tu seguimi, ok?”.

“Proviamo”.

“Prima di tutto, LA è uguale a 1/105!+1/106!+1/107!+…”.

“Stai scrivendo tutti gli 1 che rimangono, insomma”.

“Esatto. Questo numero è certamente minore di 2/105!”.

“Uhm, d'accordo, hai sostituito la somma di tutte la frazioni da 1/106! in avanti con un altro termine 1/105!”.

“Sì. Ora, la frazione 2/105! è uguale a 2/105×4!”.

“Questo perché 5! è uguale a 5 moltiplicato 4!”.

“Certo. Possiamo anche scrivere che 2/105×4! è uguale a 2/10(4+1)×4!, cioè 2/[104×4!×104!]”.

“Mi pare che tu abbia usato una proprietà delle potenze”.

“Proprio così. Dato che 2/104! è certamente minore di 1, possiamo affermare che tutta la frazione è minore di 1/104×4!”.

“Sì, è chiaro”.

“Riassunto: LA < 1/104×4!”.

“E quindi?”.

“Ricordi chi è A?”.

“L'approssimazione di L che stiamo studiando, cioè 110001000000000000000001/104!”.

“E ricordi quello che vogliamo fare?”.

“Vogliamo mostrare che possiamo approssimare L con frazioni del tipo m/n con un errore minore di 1/n elevato all'esponente che voglio”.

“E tu hai scelto 4 come esponente”.

“Giusto”.

“Ebbene, abbiamo appena trovato una frazione del tipo m/n, dove m = 110001000000000000000001 e n = 104! che approssima A con un errore minore di 1/104×4!, cioè 1/n4”.

“Ah!”.

“E hai visto che l'esponente 4 l'hai scelto tu, potevi scegliere un qualunque numero naturale”.

“Esatto”.

“E quindi hai in realtà infinite frazioni che approssimano L con un errore minore di 1/n4, o minore di 1/n5, eccetera”.

“Bene! E quindi L non è un numero algebrico, ecco fatto”.

“E così abbiamo fatto vedere che esiste almeno un numero trascendente. Bello, eh?”.

“Bello, sì. E anche per pi greco si può fare lo stesso ragionamento?”.

“Eh, magari”.

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