«Sì, vabbé, te la sogni una classe così».
«Ok, ok, è un esempio. Ogni riferimento con la realtà è assolutamente casuale».
«Va bene. Allora, ci saranno studenti che giocano a pallavolo e suonano la chitarra, ad esempio, altri che giocano e fanno teatro, e così via».
«Infatti, abbiamo varie possibilità. Quante?».
«Uhm, aspetta che le conto».
«Contale con l'idea di poter poi generalizzare in futuro».
«Non credo di saperlo fare».
«Cominciamo col dare un nome agli insiemi: A sono i pallavolisti, B i chitarristi e C gli attori».
«Va bene».
«Se facciamo un disegnino con gli insiemi, quante zone si creeranno?».
«Aspetta che le conto».
«Contale con l'idea di poter poi generalizzare in futuro».
«Ma allora è un vizio!».
«Eh, sì. Dai, prova».
«Uff. Allora, parto dal centro, c'è la zona in comune ai tre insiemi».
«Come la indichiamo?».
«Con A∩B∩C».
«Perfetto. Poi?».
«Poi ci saranno quelli che fanno due attività».
«Cosa significa? Almeno due, al più due, esattamente due?».
«Mamma mia quanto siete pignoli voi Veri Matematici! Ci sono quelli che fanno esattamente due attività, ok?».
«Bene, e come li indichiamo?».
«Mh, quelli che giocano a pallavolo e suonano la chitarra potremmo indicarli con A∩B, no?».
«No, con quel simbolo comprendi anche quelli che giocano a pallavolo, suonano la chitarra e eventualmente fanno teatro».
«Ah, allora dovrei escludere C da A∩B, ma come faccio?».
«Escludere C significa prendere gli elementi che non stanno in C, cioè che stanno fuori da C».
«Se non sbaglio, stiamo parlando dell'insieme complementare di C, vero?».
«Esatto: lo indichiamo con C».
«Ah, ecco. Allora l'insieme di quelli che giocano a pallavolo e suonano la chitarra diventa A∩B∩C».
«Molto bene. Come indichiamo gli altri insiemi composti da studenti che fanno esattamente due attività?».
«Saranno questi: A∩B∩C e A∩B∩C».
«Benissimo. Poi ci saranno gli insiemi che contengono studenti che svolgono una sola attività».
«Cioè pallavolo e non chitarra e non teatro, oppure chitarra e non pallavolo e non teatro, oppure teatro e non chitarra e non pallavolo: ho capito! In simboli è molto facile:».
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C.
«Ottimo. Ora facciamo un riassunto: abbiamo tre lettere, A, B e C, e le loro negazioni A, B e C. Possiamo combinarle come vogliamo, purché compaiano tutte, o negate o non negate».
«In sostanza, abbiamo queste possibilità:».
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C.
«Molto bene. Ah, cosa rappresenta l'ultima possibilità?».
«Uhm… sì, ci sono! Sono gli studenti lavativi, quelli che non fanno nulla».
«Dai, diciamo che sono quelli che studiano».
«Ecco, diciamo così».
«Ma eravamo rimasti all'idea di generalizzare: quante combinazioni abbiamo?».
«Allora, per ogni lettera abbiamo due possibilità: possiamo negarla oppure no. Quindi due possibilità per la prima lettera, due per la seconda, due per la terza, totale 23, cioè 8».
«Ottimo. Se disegniamo il diagramma con tre insiemi, contiamo 8 zone. In realtà una zona è quella esterna a tutti e tre gli insiemi, le altre sette sono invece interne almeno a uno di loro. Il problema, come nel caso precedente con due insiemi, è che quando diciamo che 10 studenti giocano a pallavolo, prendiamo in considerazione sia quelli che davvero giocano solo a pallavolo e non fanno altro, sia quelli che svolgono due attività, sia quelli che le svolgono tutte e tre».
«Quindi, se usiamo l'idea dei gettoni come l'altra volta, ne mettiamo tanti».
«Quanti?».
«Vediamo… uno per ogni combinazione dei tre insiemi che contiene A non negato? Sarebbero queste:».
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C,
A∩B∩C.
«Esatto, ecco il disegnino».
«Quindi, vediamo se ho capito bene, sommando i 10 studenti sportivi, gli 11 musicisti e i 9 attori conto due volte le zone in comune».
«Non esattamente: c'è una zona che conti tre volte, perché fa parte sia di A, sia di B e anche di C».
«Ah, è vero! Non è come con due insiemi, qui c'è anche la zona che abbiamo indicato con A∩B∩C».
«Sì, ecco la figurina completa:».
«E quindi come facciamo?».
«Se facciamo come prima, contando gli elementi di A, quelli di B e quelli di C, e sottraendo poi gli elementi di A∩B, quelli di B∩C e quelli di A∩C, commettiamo un errore».
«Già, abbiamo tolto completamente la zona interna, quella dell'intersezione comune: se facciamo tre sottrazioni togliamo tutti e tre i gettoni, dovremmo invece lasciarne uno».
«Perfetto, vorrà dire che lo riaggiungeremo alla fine».
«Cioè dobbiamo fare una cosa del genere?».
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B∩C| - |A∩B∩C| - |A∩B∩C| + |A∩B∩C|.
«Proprio così. Quindi, per completare l'esempio con cui abbiamo iniziato: abbiamo 10 pallavolisti, 11 chitarristi e 9 attori, 3 studenti che giocano a pallavolo e fanno gli attori, 4 studenti che giocano a pallavolo e suonano la chitarra, 5 studenti che suonano la chitarra e fanno gli attori. Infine, abbiamo 2 studenti che svolgono tutte e tre le attività. Quanti studenti in tutto, dunque?».
«Allora, ce ne sono 10 + 11 + 9 - 3 - 4 - 5 + 2, cioè 20. Ah, sono sempre quella meravigliosa classe di 20 studenti».
«Sì, continuiamo a sognare per un po'».
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