venerdì 12 luglio 2013

Nim — 3. Una partita un po' più seria

«Prima di andare avanti, riassumiamo le regole scoperte fino ad ora:».

1. Una pila è fuzzy (cioè vince il primo giocatore)

2. Due pile uguali sono uguali a zero (cioè vince il secondo giocatore (cioè due pile uguali riportano alla situazione iniziale prima di muovere (cioè possiamo cancellare due pile uguali e semplificare l'analisi del gioco)))

«Ok, fin qua ci sono».

«Ora studiamo questo gioco: (42,3)».

«Chi comincia?».

«Io. Tolgo 39 pedine alla prima pila, e ti passo questo gioco: (3,3)».

«Ehi, sono due pile uguali».

«Quindi questo gioco è nullo, vince il secondo giocatore. In questo momento sei tu il primo…».

«…e quindi vinci tu, uff».

«Quindi abbiamo trovato una terza regola:».

3. Due pile diverse sono fuzzy (il primo giocatore porta la situazione a due pile uguali, diventa il secondo giocatore, e vince).

«Ok, ci sono».

«Stiamo facendo dei passi avanti: abbiamo studiato completamente qualunque gioco Nim con una e con due pile: sappiamo chi vince e sappiamo come si fa a vincere».

«Vero. Siamo pronti per passare ai giochi con tre pile?».

«Sì, lo siamo. Pensiamo a giochi con tre pile composte da numeri diversi di pedine, altrimenti potremmo utilizzare la regola 2 e semplificarli. Prendiamone uno facile, per esempio questo: (3,2,1). Cosa succede se un giocatore cancella una delle tre pile?».

«Vediamo: potrebbe arrivare a (2,1), oppure (3,1), oppure ancora (3,2)».

«Ora applica la regola 3».

«In ogni caso abbiamo due pile diverse, quindi il gioco è fuzzy. Cioè vince il primo».

«Ma il primo è quello che deve muovere adesso, quindi quello che ha fatto la prima mossa, passando da (3,2,1) a una delle tre configurazioni dette prima, perde».

«Quindi mai vuotare una pila in un Nim a tre pile».

«Mai. Che altre mosse rimangono?».

«Mah, si potrebbe passare da (3,2,1) a (2,2,1), oppure a (3,1,1), oppure ancora a (2,1,1)».

«In ogni caso otterresti due pile uguali, no?».

«Sì, che in virtù della regola 2 potrei cancellare».

«Rimanendo quindi con una pila sola».

«Che, secondo la regola 1, è fuzzy, quindi vince il primo giocatore».

«Attenzione che il primo giocatore è quello successivo a quello che ha fatto la prima mossa».

«Vero, quindi anche queste mosse sono proibite, chi le fa perde. Ma allora non rimangono mosse possibili da fare!».

«Non rimangono mosse possibili vincenti. Quindi (3,2,1) è un gioco nullo, vince il secondo giocatore. Le mosse sono ancora molto poche, possiamo anche rappresentarle in uno schemino:».



«Ah, bello. Si vede bene che vince sempre il secondo giocatore».

«Già. Ed ecco la nuova regola che abbiamo appena scoperto:».

4. Con tre pile (diverse), il primo che vuota una pila oppure ne uguaglia due perde (se vuota una pila, si applica la regola 3, se ne uguaglia due, si applica la regola 2 e, successivamente, la 1).

«Ce ne sono ancora molte di queste regole sul Nim?».

«No, la prossima volta faremo un salto di qualità, e potremo parlare di nimeri».

«Numeri?».

«Tipo».

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