sabato 28 novembre 2009

Chi sono?

1a. Ho due cifre
1b. Sono pari

2a. Contengo un 7
2b. Sono primo

3a. Sono il prodotto di due interi dispari consecutivi
3b. Sono 1 più un quadrato perfetto

4a. Sono divisibile per 11
4b. Sono 1 più un cubo perfetto

5a. Sono un quadrato perfetto
5b. Ho tre cifre

Una sola affermazione per ogni gruppo è vera. Trovare il numero.

(via jd2718)

martedì 24 novembre 2009

Il Topolino di una volta

Mia nonna, classe 1921, conserva ancora alcuni Topolini (plurale della rivista a fumetti Topolino) di mio papà: si parla dei primi numeri del giornalino che ancora oggi viene venduto in edicola.

Le storie pubblicate a quei tempi erano molto diverse da quelle di oggi. Proprio poco fa mi è arrivata un'email pubblicitaria che mi segnalava una nuova iniziativa: si può andare su un sito, sfogliare un catalogo di 60 storie e farsi stampare un Topolino personalizzato con le storie preferite.

Ho ritrovato alcune chicche meravigliose: Zio Paperone e il ventino fatale, ad esempio, di Barks, in cui Zio Paperone se la vede molto brutta. Oppure Eta Beta e il tesoro di Mook, una lunghissima storia a puntate di Walsh e Gottfredson che oggi sarebbe impossibile pubblicare in un giornale per bambini: pistole, pugni, minacce, morti. E poi c'è L'Inferno di Topolino, nella versione non censurata: imperdibile.

Si possono leggere online, è un peccato non conoscerle.

sabato 21 novembre 2009

Interpolazione polinomiale

Per due punti passa una e una sola retta. Nel linguaggio della geometria analitica significa che esiste un'unica equazione di primo grado (una retta) in x e y avente per soluzioni le coordinate dei due punti. Se i due punti non sono disposti in verticale (non hanno la stessa x) allora si può dire che esiste un'unica funzione di primo grado y = f(x) che è soddisfatta dalle coordinate dei due punti.

Generalizziamo.

Esiste un'unica funzione di secondo grado (parabola) il cui grafico passa per tre punti (non aventi la stessa ascissa), esiste un'unica funzione di terzo grado il cui grafico passa per quattro punti, esiste un'unica funzione di grado n il cui grafico passa per n+1 punti.

Come si calcola?

Si sostituiscono le coordinate dei punti all'interno dell'equazione, si prendono come incognite i coefficienti delle x, e si risolve il sistema risultante. Sistema che risulterà essere di primo grado in n+1 equazioni e n+1 incognite.

Sì, va bene, ma quando si tratta di dieci punti, come fai?

Mi faccio aiutare da un qualche programma apposito: per esempio maxima. Inserisco una generica funzione polinomiale di nono grado in questo modo:

f(x):=a0*x^9+a1*x^8+a2*x^7+a3*x^6+a4*x^5
+a5*x^4+a6*x^3+a7*x^2+a8*x+a9;

e poi dico al programma di risolvere il sistema che si ottiene sostituendo le dieci coordinate dei punti al posto di x e y, così:

solve([f(0)=5,f(1)=2,f(2)=9,f(3)=8,f(4)=4,f(5)=6,
f(6)=7,f(7)=3,f(8)=1,f(9)=0],[a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9]);

ed ecco il risultato:

        31            293        1943         3509       11489
[[a0 = -----, a1 = - -----, a2 = ----, a3 = - ----, a4 = -----,
90720 20160 7560 1440 864

119551 1555541 244631 2318
a5 = - ------, a6 = -------, a7 = - ------, a8 = ----, a9 = 5]]
2880 22680 5040 315


Questa è l'unica funzione di nono grado che passa per i punti che abbiamo scelto. Questa risposta sarà più o meno laterale di quella che utilizza l'ordine alfabetico?

Ecco, comunque, il grafico:

venerdì 20 novembre 2009

Pensiero laterale

Il discepolo chiese al maestro:

“Maestro, insegnami il pensiero laterale”.

“Va bene”, rispose il maestro, “osserva questa sequenza numerica”.

5, 2, 9, 8, 4, 6, 7, 3, 1, 0.

“Sai dirmi”, continuò il maestro, “quale legge ordina i numeri che vedi?”. Il discepolo se ne andò, meditando. Il giorno dopo tornò dal maestro con la soluzione:

“Maestro! Ho capito! Quei numeri sono in ordine alfabetico!”.

“Mh”.

“Ma come?”, domandò il discepolo, perplesso. “Non è vero?”.

“Forse è vero, mio giovane discepolo, ma non hai pensato abbastanza lateralmente. Eccoti la mia risposta:”.




“Maestro, non capisco”.

“Ti basta sostituire i numeri da zero a nove al posto della x, e avrai l'illuminazione”.

sabato 14 novembre 2009

Carnevale della Matematica #19

Benvenuti al diciannovesimo Carnevale della Matematica. Per iniziare, ecco qua un bel quadrato magico formato dai periodi delle espansioni decimali delle frazioni 1/19, 2/19, …, 18/19.

052631578947368421
105263157894736842
157894736842105263
210526315789473684
263157894736842105
315789473684210526
368421052631578947
421052631578947368
473684210526315789
526315789473684210
578947368421052631
631578947368421052
684210526315789473
736842105263157894
789473684210526315
842105263157894736
894736842105263157
947368421052631578

E ora alcune spigolature sul numero 19.

Il ciclo di Metone è un calendario che si basa sul fatto che 19 anni solari corrispondono a circa 235 mesi lunari: è un calendario lunisolare, cioè sincronizzato sia col sole che con la luna — non è precisissimo, ma non preoccupatevi: se non studiate il calendario ebraico, se non dovete calcolare la data della prossima Pasqua e se non programmate viaggi sulla Luna non vi servirà.

La diciannovesima buca di un campo da golf è il bar alla fine del percorso — a meno che non giochiate al Legend Golf & Safari Resort, dove esiste anche la diciannovesima buca: si sale con un elicottero su una cima alta 400 metri e si deve far buca in tre colpi in un'area a forma di Africa 400 metri sotto. Ma non approfondiamo troppo perché se proprio uno vuole divertirsi a lanciare una pallina giù da una montagna, può anche fare lo sforzo di non usare un elicottero.

Si racconta che il famoso matematico indiano Ramanujan, celebre per la sua impressionante familiarità con i numeri e capacità di calcolo, ricevette la visita del collega Hardy mentre era ricoverato in ospedale a Putney. L'amico era arrivato in taxi e, tanto per far conversazione, disse a Ramanujan che il suo taxi aveva il numero 1729, che gli sembrava abbastanza poco interessante, come numero. "Assolutamente no!", rispose il macinanumeri, senza pensarci un istante, "è interessantissimo, invece! È il numero più piccolo che si possa esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!". In effetti 1729 è uguale a 13+123 e a 93+103 — ma a noi oggi interessa il fatto che 1729 è uguale al prodotto di 19 per 91.

Ogni numero intero positivo può essere espresso come somma di al più 19 quarte potenze — e questo è un risultato del 1986 riguardante un problema posto nel 1770 (e questo, a sua volta, la dice lunga sulla pazienza e la tenacia dei matematici).

Nel 1809, Napoleone si recò al palazzo di Schönbrunn per giocare contro il Turco, un automa in grado di simulare un giocatore di scacchi. La storia ci ha lasciato diversi resoconti della partita, alcuni anche contraddittori. A noi piace il seguente: di solito, nelle precedenti esibizioni, il Turco aveva sempre avuto la possibilità di fare la prima mossa, ma quella volta Napoleone non volle essere secondo, e cominciò lui la partita. Poco dopo, l'Empereur tentò una mossa illegale: il Turco rimise il pezzo al suo posto e continuò la partita. Napoleone, allora, tentò una mossa illegale una seconda volta, e il Turco rispose rimuovendo definitivamente il pezzo dalla scacchiera. Napoleone tentò la mossa una terza volta, e il Turco rispose muovendo il suo braccio meccanico in modo da spazzare via tutti i pezzi dalla scacchiera. Napoleone ne fu soddisfatto e, divertito, giocò una partita vera contro la macchina. Alla diciannovesima mossa si arrese, dichiarando la sconfitta — nel 1820 venne rivelato che la macchina era un trucco, in realtà al suo interno si nascondeva un maestro di scacchi che la comandava manualmente. Ma, a quel tempo, Napoleone aveva altro per la testa.

L'unico numero primo p, minore di 19000000019, per il quale si ha che le prime cifre di pp sono uguali a p, è 19 — infatti, 1919 è uguale a 1978419655660313589123979.

La successione di Fibonacci F(n) è nota a tutti: i primi due termini sono uguali a 1 e ogni termine, dal terzo in poi, è ottenuto sommando i due che lo precedono. Il primo numero primo p per il quale F(p) non è a sua volta primo è 19 — abbiamo infatti che F(3)=2, F(5)=5, F(7)=13, F(11)=89, F(13)=233, F(17)=1597, mentre F(19)=4181=37×113.

Esiste un criterio di divisibilità per 19: dato un numero, si toglie l'ultima cifra, si moltiplica per 9 ciò che rimane, e poi si sottrae l'ultima cifra. Se risulta 0, 19 o un multiplo di 19, allora il numero dato è divisibile per 19 — per esempio, dato 114, 11×9-4=95, che è divisibile per 19 (se uno non se ne accorge, può ripetere il test: 9×9-5=76; 7×9=57; 5×9-7=38; 3×9-8=19; a questo punto ci si può fermare).

Il FRACTRAN è un linguaggio di programmazione molto criptico ideato da Conway. Un programma scritto in FRACTRAN è composto da una lista ordinata di frazioni positive e da un valore iniziale di input n, intero positivo. Il programma modifica il valore di n secondo le seguenti due regole:

1) si cerca la prima frazione f nella lista per la quale nf è un intero, e si sostituisce n con nf

2) si ripete la regola precedente fino a che non esiste più nessuna frazione della lista che produce un intero quando viene moltiplicata per n; a quel punto il programma termina.

Bene, il linguaggio è Turing completo (ed incomprensibile). Ecco un generatore di numeri primi:

17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/14, 15/2, 55/1.

Quando viene lanciato con il valore iniziale di n=2, si ottiene la seguente sequenza: 15, 825, 725, 1925, 2275, 425, e così via. Ogni volta che compare una potenza di 2, bisogna guardarne l'esponente: la prima volta troveremo che l'esponente è uguale a 2, poi 3, poi 5, 7, e così via: vengono generati tutti i numeri primi. Il programma non è però molto efficiente: servono 19 iterazioni per ricavare il primo numero primo.

E concludiamo con l'articolo 19 della dichiarazione universale dei diritti umani: Ogni individuo ha diritto alla libertà di opinione e di espressione incluso il diritto di non essere molestato per la propria opinione e quello di cercare, ricevere e diffondere informazioni e idee attraverso ogni mezzo e senza riguardo a frontiere.

Ora veniamo ai contributi, in rigoroso ordine di ricevimento:

dioniso continua, dal suo blogghetto, a raccontarci un percorso storico tra numeri e geometria: siamo alla dodicesima parte, in cui si parla di Al-Khwārizmī.

knulp, da Scacciamennule, propone un problema che parla di bistecche e barbecue.

Giampaolo Mele ha appena aperto un blog, La vita è un gioco. Nel suo primo post ci parla di matematica, giochi, dilemmi. Nessuno si è mai chiesto come funzioni tutto?

marcellosblog ci propone un'analisi del gioco Win for Life, dalla quale si evince come sia facile appartenere all'insieme dei perdenti, e ci segnala un video di Sir Ken Robinson a favore della creazione di un sistema educativo che nutra la creatività.

I Rudi Mat(h)ematici segnalano Appeso al muro: vi siete mai chiesti perché in molti orologi, soprattutto in quelli sui campanili, il numero romano 4 è scritto come IIII e non come si dovrebbe, cioè IV? Il post contiene anche un foto quiz, dove bisogna trovare un orologio speciale tra nove. Abbiamo poi il compleanno del mese, questa volta dedicato a Weierstraß e alla poesia — già, perché i compleanni di RM non parlano mai di un argomento solo, e se non li conoscete vale la pena dedicare dieci minuti a una lettura attenta e non superficiale. Per la serie Paraphernalia Mathematica hanno scritto un post sulla matematica degli origami, che permette di fare calcoli più complicati rispetto a quelli possibili con l'uso di soli riga e compasso: si possono trisecare gli angoli, ad esempio. Infine, la soluzione ai quesiti pubblicati a ottobre sulla rivista Le Scienze: Chi si fila il filetto? Non dimenticate il numero di novembre della rivista Rudi Mathematici, di cui segue il sommario: il compleanno di Ipazia, i due problemi del mese, il Bungee Jumpers, la recensione di Flatlandia, le soluzioni dei lettori e le note della redazione, il Quick and Dirty, e la seconda parte dei Paraphernalia Mathematica sulla crittografia.

.mau., preso da vari impegni e monelli, dice che ha scritto poco. Ecco qua: un post celebrativo per i 95 anni di Martin Gardner, una analisi probabilistica per cercare di capire se l'acrostico presente nel veto firmato dal governatore della California sia casuale o no. Seguono alcune considerazioni, più o meno filosofiche, sulle dimostrazioni matematiche al calcolatore: una dimostrazione che può essere fatta a mano in qualche secolo, o al computer in tempi più brevi, è una dimostrazione valida?. Per la categoria giochi, abbiamo il Windoku, ovvero un sudoku con le finestre, e Flood Fill, un gioco che richiama il teorema dei quattro colori. Per quanto riguarda invece la categoria Povera Matematica, Berlusconi dà i numeri ci parla del fatto che non si possono sommare le mele con le pere. La serie di interventi di .mau. si conclude con la recensione del libro Numerologia.

Da Gravità Zero arrivano invece i seguenti contributi: Walter Caputo ci parla del dualismo onda-particella in un vecchio esperimento mentale della meccanica quantistica, e dell'equazione di Drake in Non probabilità di vita extraterrestre, ma semplici frequenze basate su stime incerte. Claudio Pasqua invece racconta dell'intervista a Daniele Gouthier e conclude con una bufala matematica: non sarebbe meglio fare qualche conto prima di sparare delle cifre

annarita comincia con la matofobia: chi ha paura della matematica? Poi continua con un crittogramma e la sua soluzione, con la segnalazione di un software per creare triangoli, cerchi e stelle magici, un filmato dal TED in cui si parla di matematica e guerra, e gli aquiloni di Pitagora (e computer art). Per quanto riguarda la didattica con GeoGebra, annarita ci parla di circonferenze, delle proprietà delle figure equivalenti, dell'area del rettangolo e di quella del quadrato, di quella del rombo, e della lunghezza della circonferenza. Per quanto riguarda invece scienze e matematica, ecco un primo post (proveniente da un altro suo blog, Scientificando) che lega la successione di Fibonacci e la disposizione delle foglie sul fusto di una pianta, e un secondo post che lega il teorema di Pitagora con la teoria della relatività.

I Rudi Mathematici arrivano in tempo per la chiusura del Carnevale con un gustoso post dal titolo Piccoli Problemi Probabilmente Poco Pregnanti (Però Poetici): non fate caso al fatto che il link abbrevia il titolo con problemi noiosi e andatelo a leggere, anche solo il primo paragrafo la dice lunga su molte cose…

Giovanna ci propone poi alcune curve di frutti: il limone e la mela di Keplero, l'arachide e la pera. Poi prosegue con tanti post sulla didattica e la storia della matematica: da decimale a binario con excel, un compito in classe (o verifica?) sui sistemi di numerazione, la costante nei poligoni regolari, le tassellature del piano con poligoni non regolari, un classico problema su cerchi e dintorni e la sua soluzione, un legame tra le pigne e i numeri di Fibonacci, la matematica in Dante: triangoli rettangoli e semicirconferenze nel Paradiso, ancora Fibonacci, questa volta con i conigli e un limerick di Popinga, il teorema di Pitagora in due dei più antichi trattati di matematica cinesi e una intervista impossibile fatta proprio a Pitagora. Giovanna conclude con un problema-teorema riguardante tre cerchi.

Da Chimicare abbiamo un articolo di argomento chimico-matematico o, se vogliamo, di chimica divulgativa dai risvolti matematici: come possiamo trasformare un profumo in una matrice numerica?

E arriviamo alla fine del Carnevale con due interventi di Popinga: tre acrostici matematici, o tre acrostici dedicati a tre grandi matematici, e Gli immaginari di Törless, ovvero come fanno i matematici a pensare e utilizzare cose che non esistono?

(Credevate che fosse la fine? Invece no, .mau., in ritardo sul ritardo, segnala un ultimo quesito, un rebus crittografico. Per rilassarsi un po' tra una notiziola e l'altra)

Bene, il Carnevale finisce qua: arrivederci al prossimo, che sarà ospitato da Matem@ticamente il 14 dicembre. O magari arrivederci al Carnevale della Fisica, che partirà il 30 di questo mese, in occasione dei 400 anni di Galileo.

domenica 1 novembre 2009

Carnevale della Matematica — call for papers

Il 14 novembre ci sarà il Carnevale della Matematica: chi vuole partecipare si iscriva qui. Non siate timidi...