Su un particolare insieme numerico - ordinamento dei numeri surreali

Un numero è minore o uguale di un altro numero se e solo se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero, e nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo numero.

“Lo sapevo che era complicato, non si capisce nulla”.

“Proviamo ad applicarlo, forse si capisce meglio”.

“Ok”.

“Vediamo se è vero che 0≤0, come dovrebbe essere se vogliamo che questi nuovi numeri assomiglino a quelli vecchi che già conosciamo”.

“Va bene. Allora, la definizione comincia dicendo che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero”.

“Bene. Ricordati che 0 è uguale a {∅|∅}, che possiamo anche scrivere come {|}”.

“Allora, dovrei verificare che nessun elemento di ∅ è maggiore o uguale di 0. Giusto, l'insieme vuoto non ha elementi, quindi siamo a posto”.

“Ottimo, vedo che cominci ad apprezzare l'insieme vuoto”.

“Sì, sto cominciando a capire la sua utilità. L'altra parte della definizione dice che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo numero”.

“Vero. Quindi, se suddividi 0 nei suoi insiemi componenti, come diventa?”.

“Diventa così: nessun elemento di ∅ è minore o uguale di 0. Perfetto, giusto, non ci sono elementi nell'insieme vuoto, quindi è automaticamente vera”.

“E così abbiamo dimostrato che 0 è minore o uguale di 0, come ci aspettavamo”.

“Già. Si potrebbe anche generalizzare, grazie alla presenza dell'insieme vuoto”.

“Ottimo: come generalizzeresti?”.

“Direi che qualunque siano x e y, si ha che {∅|x} è minore o uguale di {y|∅}”.

“Perfetto: dato che nella definizione di ordinamento ci vengono richieste delle proprietà riguardanti l'insieme di sinistra del primo numero e l'insieme di destra del secondo, se entrambi sono vuoti le proprietà sono automatiche”.

“E tante grazie all'insieme vuoto”.

“Tra l'altro, hai anche ordinato i tre numeri che abbiamo a disposizione”.

“Ah, è vero! {∅|0} è minore o uguale di {0|∅}, secondo quanto abbiamo appena detto. No, un momento: dove metto lo zero?”.

“Allora, andiamo per ordine: è vero che {∅|0} ≤ 0, cioè {∅|0} ≤ {∅|∅}?”.

“Sì, senza dubbio, l'abbiamo dimostrato prima per qualunque numero del tipo {y|∅}”.

“Ed è vero che {∅|∅} ≤ {0|∅}?”.

“Sempre secondo quanto abbiamo detto prima, certo. Allora siamo a posto”.

“Quasi”.

“Cosa manca?”.

“Dovremmo verificare che 0 non è minore o uguale di {∅|0}, per esempio”.

“Ah, non è automatico?”.

“Niente è automatico”.

“Va bene, va bene... Allora, aspetta, 0 ≤ {∅|0} significherebbe che nessun elemento dell'insieme di sinistra di 0 (cioè nessun elemento di ∅) è maggiore o uguale del secondo numero — vero, perché non ci sono elementi da controllare; poi nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero (cioè 0, c'è solo lui) è minore o uguale del primo numero — falso, 0 è minore o uguale di 0, l'abbiamo appena visto!”.

“Ottimo. Quindi?”.

“Quindi non è vero che 0 ≤ {∅|0}”.

“Benissimo. Ti lascio per esercizio verificare che {0|∅} non è minore o uguale di 0”.

“Ok, ci proverò”.

“Noi invece vediamo insieme che {0|∅} non è minore o uguale di {∅|0}”.

“Uh, va bene. Dunque, {0|∅} ≤ {∅|0} significherebbe che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di {∅|0}: falso, l'abbiamo visto prima. Posso anche fermarmi qua: non è vero che {0|∅} ≤ {∅|0}”.

“Benissimo. Quindi abbiamo un ordinamento stretto tra i tre numeri che abbiamo definito: {∅|0} è minore e non è uguale a 0 che è minore e non uguale a {0|∅}”.

“Uff, non è stato facile”.

“Manca ancora una cosa per completare il quadro”.

“Quale?”.

“I nomi dei numeri. Eccoli qua: {0|∅} lo chiamiamo +1 (o semplicemente 1), mentre {∅|0} lo chiamiamo -1”.

“A-ah! Ma sono proprio quei numeri?”.

“Ecco, per rispondere a questa domanda serve, naturalmente, la definizione di somma”.